Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在R上單調(diào)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的極小值．

Answer 1

解：f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（x²+2）e^x，f'（x）=e^x（x²+2x+2），
f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程為y-3e=5e（x-1），
即5ex-y-2e=0
（2）f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，，
考慮到e^x＞0恒成立且x²系數(shù)為正，
∴f（x）在R上單調(diào)等價(jià)x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立．
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a的取值范圍是[-2，2]，
（3）當(dāng)a=-時(shí)，f（x）=（x²-x+2）e^x，f'（x）=e^x（x²-x-），
令f'（x）=0，得x=-，或x=1，
令f'（x）＞0，得x＜-，或x＞1，
令f'（x）＜0，得-＜x＜1????????????????????
x，f'（x），f（x）的變化情況如下表

X	（-∞，-）	-	（-，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

所以函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=
分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程，化成一般式即可；
（2）若f（x）在R上單調(diào)，則f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]＞0恒成立，考慮到e^x＞0恒成立且x²系數(shù)為正，從而等價(jià)x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立，利用判別式建立關(guān)系式，即可求出所求；
（3）先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和恒成立問題，同時(shí)考查了計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于綜合題．