Question

【題目】如圖，已知矩形 所在平面與等腰直角三角形 所在平面互相垂直， ， ， 為線段 的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明： ；
（Ⅱ）求 與平面 所成的角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 因?yàn)? ，所以 ，故 ．因?yàn)? ，所以 ，故 ．
因?yàn)? ， 為 的中點(diǎn)，所以 ．
所以 ．
（Ⅱ）如圖，將幾何體 補(bǔ)成三棱柱 ，

設(shè) 的中點(diǎn)為 ，連結(jié) ．
因?yàn)? ，所以 ．
因此 為 與平面 所成的角．
不妨設(shè) ，則 ，因此 ， ， ，故 ，
所以 與平面 所成的角的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）由已知推導(dǎo)出AB⊥EC，EC⊥BM，AE⊥BM，由此能證明BM⊥平面AEC．
（Ⅱ）將幾何體ABCDE補(bǔ)成三棱柱AFD-BEC，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連結(jié)MG，GC，推導(dǎo)出∠MCG為MC與平面DEC所成的角，由此能求出MC與平面DEC所成的角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．