【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線的切線方程為
,求實(shí)數(shù)
的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
或
【解析】
(1)根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程
,構(gòu)造函數(shù)
,并求得
,由導(dǎo)函數(shù)求得
有最小值
,進(jìn)而可知由唯一零點(diǎn)
,即可代入求得
的值;
(2)將解析式代入
,結(jié)合零點(diǎn)定義化簡并分離參數(shù)得
,構(gòu)造函數(shù)
,根據(jù)題意可知直線
與曲線
有兩個(gè)交點(diǎn);求得
并令
求得極值點(diǎn),列出表格判斷
的單調(diào)性與極值,即可確定與
有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)
的取值范圍.
(1)依題意,,
,
設(shè)切點(diǎn)為,
,
故,
故,則
;
令,
,
故當(dāng)時(shí),
,
當(dāng)時(shí),
,
故當(dāng)時(shí),函數(shù)
有最小值,
由于,故
有唯一實(shí)數(shù)根0,
即,則
;
(2)由,得
.
所以“在區(qū)間
上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線
與曲線
在
有兩個(gè)交點(diǎn)”;
由于.
由,解得
,
.
當(dāng)變化時(shí),
與
的變化情況如下表所示:
3 | |||||
0 | + | 0 | |||
極小值 | 極大值 |
所以在
,
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
又因?yàn)?/span>,
,
,
,
故當(dāng)或
時(shí),直線
與曲線
在
上有兩個(gè)交點(diǎn),
即當(dāng)或
時(shí),函數(shù)
在區(qū)間
上有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某貧困地區(qū)幾個(gè)丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路,以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道
,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路
和山區(qū)邊界的直線型公路
, 以
所在的直線分別為
軸,
軸, 建立平面直角坐標(biāo)系
, 如圖所示, 山區(qū)邊界曲線為
,設(shè)公路
與曲線
相切于點(diǎn)
,
的橫坐標(biāo)為
.
(1)當(dāng)為何值時(shí),公路
的長度最短?求出最短長度;
(2)當(dāng)公路的長度最短時(shí),設(shè)公路
交
軸,
軸分別為
,
兩點(diǎn),并測得四邊形
中,
,
,
千米,
千米,求應(yīng)開鑿的隧道
的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)對設(shè)備進(jìn)行升級改造,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則視為不合格品,如圖是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖,下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.
圖:設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖
表:設(shè)備改造后樣本的頻率分布表
質(zhì)量指標(biāo)值 | ||||||
頻數(shù) | 2 | 18 | 48 | 14 | 16 | 2 |
(1)求圖中實(shí)數(shù)的值;
(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,對合格品進(jìn)行等級細(xì)分,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的定為一等品,每件售價(jià)240元;質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間
或
內(nèi)的定為二等品,每件售價(jià)180元;其他的合格品定為三等品,每件售價(jià)120元,根據(jù)表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品支付的費(fèi)用為
(單位:元),求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著智能手機(jī)的普及,手機(jī)計(jì)步軟件迅速流行開來,這類軟件能自動記載每日健步走的步數(shù),從而為科學(xué)健身提供了一定幫助.某企業(yè)為了解員工每日健步走的情況,從該企業(yè)正常上班的員工中隨機(jī)抽取300名,統(tǒng)計(jì)他們的每日健步走的步數(shù)(均不低于4千步,不超過20千步).按步數(shù)分組,得到頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求這300名員工日行步數(shù)(單位:千步)的樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表,結(jié)果保留整數(shù));
(2)由直方圖可以認(rèn)為該企業(yè)員工的日行步數(shù)(單位:千步)服從正態(tài)分布
,其中
為樣本平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差
的近似值為2,求該企業(yè)被抽取的300名員工中日行步數(shù)
的人數(shù);
(3)用樣本估計(jì)總體,將頻率視為概率.若工會從該企業(yè)員工中隨機(jī)抽取2人作為“日行萬步”活動的慰問獎勵對象,規(guī)定:日行步數(shù)不超過8千步者為“不健康生活方式者”,給予精神鼓勵,獎勵金額為每人0元;日行步數(shù)為8~14千步者為“一般生活方式者”,獎勵金額為每人100元;日行步數(shù)為14千步以上者為“超健康生活方式者”,獎勵金額為每人200元.求工會慰問獎勵金額(單位:元)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布
,則
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某早餐店對一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷,定價(jià)為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照
,
,
,
分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計(jì)概率.
從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于
瓶的概率;
試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱
瓶,批發(fā)成本
元;小箱每箱
瓶,批發(fā)成本
元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表,比如銷量為
時(shí)看作銷量為
瓶).
①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機(jī)變量,批發(fā)一小箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機(jī)變量
,求
和
的分布列和數(shù)學(xué)期望;
②以利潤作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?
注:銷售額=銷量×定價(jià);利潤=銷售額-批發(fā)成本.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對應(yīng)關(guān)系如下表:
AQI指數(shù)值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
下圖是某市10月1日—20日AQI指數(shù)變化趨勢:
下列敘述錯誤的是
A. 這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100
B. 這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占
C. 該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來越好
D. 總體來說,該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓:
,
為左、右焦點(diǎn),
為短軸端點(diǎn),且
,離心率為
,
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程,
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn),
,且滿足
?若存在,求出該圓的方程,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十二生肖,又稱十二屬相,中國古人拿十二種動物來配十二地支,組成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、已蛇、午馬、未羊、申猴、西雞、戌狗、亥豬十二屬相現(xiàn)有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同學(xué)依次隨機(jī)抽取一件作為禮物,甲同學(xué)喜歡馬、牛,乙同學(xué)喜歡馬、龍、狗,丙同學(xué)除了鼠不喜歡外其他的都喜歡,則這三位同學(xué)抽取的禮物都喜歡的概率是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸長為4,直線
被橢圓
截得的線段長為
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過橢圓的右頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線
分別交橢圓
于
兩點(diǎn)(點(diǎn)
不同于橢圓
的右頂點(diǎn)),證明:直線
過定點(diǎn)
.
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