Question

【題目】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中的公差不為.設(shè)是數(shù)列

的前項和.若、、是數(shù)列的前項，且.

（Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式；

（Ⅱ）若數(shù)列為等差數(shù)列，求實數(shù)；

（Ⅲ）構(gòu)造數(shù)列，，，，，，，，，…，，，，，…，，…，

若該數(shù)列前項和，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)或;(Ⅲ)34.

【解析】試題分析：

(1)由題意列出方程組求得數(shù)列的首項，公差，則其通項公式為，進一步即可求得數(shù)列的通項公式為

(2)利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)列出方程組，求解方程組可得或;

(3)結(jié)合題意分組求和得到關(guān)于m的方程，解方程討論可得.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為（），由、、是數(shù)列的前項，且

得，因為，所以，故的通項公式為；而，，所以等比數(shù)列的公比，

的通項公式為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以可設(shè)，，，

所以即對總成立，不妨設(shè)，，，

則對總成立，取，

，得，解得，即，

解得或．令．

當時，，因為，所以為等差數(shù)列；

當時，，因為，所以為等差數(shù)列．

綜上，或．

另解：由（Ⅰ）知，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，必成等差數(shù)列，所以，即，解得或．

令．

當時，，因為，所以為等差數(shù)列；

當時，，因為，所以為等差數(shù)列．

綜上，或．

（Ⅲ）設(shè)從到各項的和為，則

因為，所以

，因此

．

當時，，當時，，所以，可設(shè) 后面有項，則，所以，，因此

，即的值為．