Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx（cosx-sinx）+

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最小值和最大值；
（3）若x∈（-π，

π

4

]，求使f（x）≥

2

的x取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，進而根據(jù)周期公式求得函數(shù)的最小正周期，根據(jù)三角函數(shù)的性質求得函數(shù)的單調增區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍確定2x+

π

4

的范圍，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質求得函數(shù)的最大和最小值．
（3）先確定2x+

π

4

的范圍，進而根據(jù)f（x）≥

2

利用正弦函數(shù)的性質求得x的范圍．

解答： 解：f（x）=2sinx（cosx-sinx）+

2

=sin2x-（1-cos2x）+

2

=sin2x+cos2x+

2

-1=

2

sin（2x+

π

4

）+

2

-1，
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得，
kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）．
所以函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）因為x∈（-π，

π

4

]，
所以-

π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

12

．
所以-

2

2

≤sin（2x+

π

4

≤1．
所以

2

-2≤f（x）≤2

2

-1．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最小值是

2

-2，最大值是2

2

-1．
（3）因為x∈（-π，

π

4

]，所以-

7π

4

＜2x+

π

4

≤

3π

4

．
由f（x）≥

2

得，

2

sin（2x+

π

4

）+

2

-1≥

2

，
所以sin（2x+

π

4

≥

2

2

．
所以-

7π

4

＜2x+

π

4

≤-

5π

4

或

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

．
所以-π＜x≤-

3π

4

或0≤x≤

π

4

．
當x∈（-π，

π

4

]時，使f（x）≥

2

的x取值范圍是（-π，-

3π

4

]∪[0，

π

4

]．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)圖象與性質．考好了學生推理和分析能力．