Question

已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，帶入導(dǎo)函數(shù)中求得，令，解不等式并和定義域求交集，得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）令，得，討論與定義域的位置關(guān)系，當(dāng)在定義域外或區(qū)間端點(diǎn)時，函數(shù)在給定的定義域內(nèi)單調(diào)，利用單調(diào)性求最小值；當(dāng)是定義域的內(nèi)點(diǎn)時，將定義域分段，并分別判斷單調(diào)性，判斷函數(shù)大致圖象，從而確定函數(shù)最小值，列方程求．

試題解析： （） 2分

（1）因?yàn)榍€在點(diǎn)（1，）處的切線與直線垂直，，

所以，即解得 4分

當(dāng)時，，。

令，解得所以函數(shù)的遞減區(qū)間為： 6分

（2）當(dāng)時，在（1，3）上恒成立，這時在[1，3]上為增函數(shù)

令 ，得（舍去） 7分

當(dāng)時，由得，

對于有在上為減函數(shù)，

對于有在上為增函數(shù)，

，令，得 9分

當(dāng)時，在（1，3）上恒成立，這時在上為減函數(shù)，

∴.令 得 （舍去）

綜上， 12分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.