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17.已知函數(shù)fx=cosx3cosxsinx3
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程.
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(3)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,\frac{π}{2}]上的最小值,并求使y=f(x)取得最小值時(shí)的x的值.

分析 (1)利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,對(duì)稱軸方程,
(2)將內(nèi)層函數(shù)看作整體,放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)x∈[0,\frac{π}{2}]上時(shí),求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出f(x)的最小值,即得到x)的取值.

解答 解:函數(shù)f(x)=cosx(\sqrt{3}cosx-sinx)-\sqrt{3}
化簡(jiǎn)可得:f(x)=\sqrt{3}cos2x-sinxcosx-\sqrt{3}
=\sqrt{3}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x)-\frac{1}{2}sin2x-\sqrt{3}
=\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}
=cos(2x+\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=\frac{2π}{2}=π
由2x+\frac{π}{6}=kπ,(k∈Z),
可得:x=\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12},(k∈Z),
∴圖象的對(duì)稱軸方程為x=\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12},(k∈Z),
(2)由2kπ+π≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+2π,(k∈Z),
可得kπ+\frac{5π}{12}≤x≤\frac{11π}{12}+kπ
∴增區(qū)間為[kπ+\frac{5π}{12},kπ+\frac{11π}{12}]k∈z;
(3)當(dāng)x∈[0,\frac{π}{2}]上時(shí),
可得:2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}\frac{7π}{6}],
當(dāng)2x+\frac{π}{6}=π時(shí),f(x)取得最小值為-1-\frac{\sqrt{3}}{2};
此時(shí)解得x=\frac{5π}{12}
∴當(dāng)x=\frac{5π}{12}時(shí),最小值為-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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