Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）²（x-b）（a，b∈R，a＜b）．
（I）當a=1，b=2時，求曲線y=f（x）在點（2，f（x））處的切線方程；
（II）設x₁，x₂是f（x）的兩個極值點，x₃是f（x）的一個零點，且x₃≠x₁，x₃≠x₂．
證明：存在實數(shù)x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某種順序排列后的等差數(shù)列，并求x₄．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a，b的值代入后對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點的導數(shù)值等于該點的切線的斜率，可得答案．
（2）對函數(shù)f（x）求導，令導函數(shù)等于0解出x的值，然后根據(jù)x₃是f（x）的一個零點可得到x₃=b，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到答案．
解答：（Ⅰ）解：當a=1，b=2時，
因為f′（x）=（x-1）（3x-5）
故f′（2）=1
f（2）=0，
所以f（x）在點（2，0）處的切線方程為y=x-2；
（Ⅱ）證明：因為f′（x）=3（x-a）（x-），
由于a＜b．
故a＜．
所以f（x）的兩個極值點為x=a，x=．不妨設x₁=a，x₂=，
因為x₃≠x₁，x₃≠x₂，
且x₃是f（x）的零點，故x₃=b．
又因為-a=2（b-），
x₄=（a+）=，
所以a，，，b依次成等差數(shù)列，
所以存在實數(shù)x₄滿足題意，且x₄=．
點評：本題主要考查函數(shù)的極值概念、導數(shù)運算法則、切線方程、導線應用、等差數(shù)列等基礎知識，同時考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識．