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【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點在線段上移動（不與重合），是的中點.

（1）當四面體的外接球的表面積為時，證明：.平面

（2）當四面體的體積最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由題意，先求得為的中點，再證明平面平面，進而可得結論；

（2）由題意，當點位于點時，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標系，利用空間向量運算即可.

（1）證明：當四面體的外接球的表面積為時.

則其外接球的半徑為.

因為時邊長為2的菱形，是矩形.

，且平面平面.

則，.

則為四面體外接球的直徑.

所以，即.

由題意，，，所以.

因為，所以為的中點.

記的中點為，連接，.

則，，，所以平面平面.

因為平面，所以平面.

（2）由題意，平面，則三棱錐的高不變.

當四面體的體積最大時，的面積最大.

所以當點位于點時，四面體的體積最大.

以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，.

所以，，，.

設平面的法向量為.

則

令，得.

設平面的一個法向量為.

則

令，得.

設平面與平面所成銳二面角是，則.

所以當四面體的體積最大時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“偉大的變革—慶祝改革開放40周年大型展覽”于2019年3月20日在中國國家博物館閉幕，本次特展緊扣“改革開放40年光輝歷程”的主線，多角度、全景式描繪了我國改革開放40年波瀾壯闊的歷史畫卷．據統(tǒng)計，展覽全程呈現(xiàn)出持續(xù)火爆的狀態(tài)，現(xiàn)場觀眾累計達423萬人次，參展人數屢次創(chuàng)造國家博物館參觀紀錄，網上展館點擊瀏覽總量達4.03億次．

下表是2019年2月參觀人數（單位：萬人）統(tǒng)計表

日期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

人數

3.0

3.1

2.5

2.3

5.4

6.8

6.2

6.7

5.5

4.9

3.2

3.0

2.7

2.5

日期

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

人數

2.4

2.9

3.2

2.8

2.9

2.3

3.0

2.9

3.1

3.0

3.1

3.1

3.1

3.0

根據表中數據回答下列問題：

（1）請將2019年2月前半月（1～14日）和后半月（15～28日）參觀人數統(tǒng)計對比莖葉圖填補完整，并通過莖葉圖比較兩組數據方差的大小（不要求計算出具體值，得出結論即可）；

（2）將2019年2月參觀人數數據用該天的對應日期作為樣本編號，現(xiàn)從中抽樣7天的樣本數據．若抽取的樣本編號是以4為公差的等差數列，且數列的第4項為15，求抽出的這7個樣本數據的平均值；

（3）根據國博以往展覽數據及調查統(tǒng)計信息可知，單日入館參觀人數為0～3（含3，單位：萬人）時，參觀者的體驗滿意度最佳，在從（2）中抽出的樣本數據中隨機抽取兩天的數據，求這兩天參觀者的體驗滿意度均為最住的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，的最大值為.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）當時，討論函數的單調性；

（Ⅲ）當時，令，是否存在區(qū)間.使得函數在區(qū)間上的值域為若存在，求實數的取值范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，.

(1)求曲線在點處的切線方程;

(2)當時，若關于的方程存在兩個正實數根，證明:且.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（， 為參數）.以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）當時，求曲線上的點到直線的距離的最大值；

（2）若曲線上的所有點都在直線的下方，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為的正方形，點是的中點，點在底面上的射影為點，點在棱上，且四棱錐的體積為.

（1）若點是的中點，求證:平面平面；

（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在矩形中，已知，，點，分別在邊，上，且，將梯形沿折起，使在平面上的射影恰好落在線段靠近的三等分點處，得到圖2中的立體圖形.

（1）（2）

（1）在圖2中，求證：平面；

（2）求二面角的大小.

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【題目】國家每年都會對中小學生進行體質健康監(jiān)測，一分鐘跳繩是監(jiān)測的項目之一.今年某小學對本校六年級300名學生的一分鐘跳繩情況做了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)一分鐘跳繩個數最低為10，最高為189.現(xiàn)將跳繩個數分成，，，，，6組，并繪制出如下的頻率分布直方圖.

（1）若一分鐘跳繩個數達到160為優(yōu)秀，求該校六年級學生一分鐘跳繩為優(yōu)秀的人數；

（2）上級部門要對該校體質監(jiān)測情況進行復查，發(fā)現(xiàn)每組男、女學生人數比例有很大差別，組男、女人數之比為，組男、女人數之比為，組男、女人數之比為，組男、女人數之比為，組男、女人數之比為，組男、女人數之比為.試估計此校六年級男生一分鐘跳繩個數的平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表，結果保留整數）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】關于函數，下列說法正確的是( )

（1）是的極小值點；

（2）函數有且只有1個零點；

（3）恒成立；

（4）設函數，若存在區(qū)間，使在上的值域是，則.

A.(1) (2)B.(2)(4)C.(1) (2) (4)D.(1)(2)(3)(4)

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