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11.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC的外接圓半徑R=2,且tanB+tanC=2sinAcosC
(1)求B和b的值;
(2)求△ABC面積的最大值.

分析 (1)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形內(nèi)角和定理可求cosB=22,可得B的值,進(jìn)而由正弦定理可得b的值,
(2)由余弦定理和基本不等式可求出ac≤2(2+2),再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可

解答 解:(1)∵tanB+tanC=2sinAcosC,
sinBcosB+sinCcosC=2sinAcosC,
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,
即sin(B+C)=2sinAcosB,
∵A+B+C=π,
∴sinA=2sinAcosB
∵sinA≠0,
∴cosB=22,
∴B=π4
又∵△ABC的外接圓半徑為R=2,
∴由正弦定理sinB=2R,可得:b=2×2×22=2.
(2)由余弦定理的b=a2+c2-2accosB,
∴4=a2+c2-2ac,
由基本不等式,得4=a2+c2-2ac≥2ac-2ac,
∴ac≤422=2(2+2),
∴S△ABC=12acsinB=24ac≤24×2(2+2)=1+2,
故△ABC面積的最大值1+2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形內(nèi)角和定理,正弦定理,三角形的面積公式和基本不等式在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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