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已知單調函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(3)=log23,定義域為R.

(Ⅰ)求證f(x)為奇函數；

(Ⅱ)若f(x)滿足對任意實數x，f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0恒成立，求k的取值范圍.

分析：（Ⅰ）為了證明f(x)為奇函數，只須證明對x∈R，f(-x)=-f(x)成立.

解：觀察f(x+y)=f(x)+f(y),令x=0,有f(0)=0，再令y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x).

    即f(x)+f(-x)=0.f(-x)=-f(x).

    故f(x)為奇函數.

（Ⅱ）由于f(x)是奇函數，且f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0恒成立.∴f(k·3x)＜-f(3x-9x-2),

    即f(k·3x)＜f(9x-3x+2).①

   為了確定k的取值范圍，需要進一步判斷f(x)是單調遞增或單調遞減，

    由于f(3)=log23＞0,而f(0)=0,那么f(3)＞f(0),因為f(x)是單調函數，故此函數為單調增函數，則由①得，

9x-3x+2＞k·3x,

    即(3x)2-(k+1)·3x+2＞0恒成立.②

    由于3x＞0，使②成立的條件為k+1≤0，或其判斷別式Δ＜0，

    當k+1≤0，則k≤-1;

    當Δ＜0，即(k+1)2-4·2＜0,

    解得-1-2＜k＜-1+2.

    綜上所述，k＜-1+2.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知冪函數f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調增函數．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）設函數g(x)=
1
4
f(x)+ax3+
9
2
x2-b(x∈R)，其中a，b∈R.
（i）若函數g（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（ii）對于任意的a∈[-1，1]，不等式g（x）≤2在[-2，2]上恒成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知奇函數f(x)=
-x2+2x(x＞0)
0，(x=0)
x2+mx(x＜0)

（1）求實數m的值，并在給出的直角坐標系中畫出y=f（x）的圖象；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[-1，-2]上單調遞增，試確定的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知奇函數f(x)=
-x2+2x，(x＞0)
0，(x=0)
x2+mx，(x＜0)
，
（1）求實數m的值
（2）做y=f（x）的圖象（不必寫過程）
（3）若函數f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調遞增，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：黃岡重點作業(yè)·高三數學（下） 題型：044

已知單調函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝log23，定義域為R．

(1)求證f(x)為奇函數；

(2)若f(x)滿足對任意實數x，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)＜0恒成立，求k的取值范圍．

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