Question

已知函數f（x）=ag^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數，函數y=f（x）在其圖象和與坐標軸的交點處的切線為l₁，函數y=g（x）在其圖象與坐標軸的交點處的切線為l₂，l₁平行于l₂．
（1）求函數y=g（x）的解析式；
（2）若關于x的不等式恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）．
y=f（x）的圖象與坐標軸交于點（0，a）；y=g（x）的圖象與坐標軸交于點（a，0），
∴f′（0）=g′（a）．
∴．
∵a＞0，∴a=1
∴g（x）=lnx．
（2）①當x＞1時，由 得 恒成立．
令 ，則 ．
令 ，則 ，
∴h（x）在[1，+∞）上遞增．
∴?x＞1，h（x）＞h（1）=0．
∴φ′（x）＞0．
∴φ（x）在[1，+∞）上遞增．
∴m≤φ（1）=1．
②當0＜x＜1時，由 得 即m＞φ（x）恒成立．
同①可得φ（x）在（0，1]上遞減．
∴m≥φ（1）=1．
綜合①②得m=1．
分析：（1）利用導數的幾何意義，分別求兩函數在與兩坐標軸的交點處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值
（2）不等式 恒成立，即當x＞1時 恒成立；當0＜x＜1時得 恒成立．構造新函數 ，求其在[1，+∞）的最小值，在（0，1]上的最大值即可．
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性、函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．