Question

已知函數(shù)f（x）=ag^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，函數(shù)y=f（x）在其圖象和與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線為l₁，函數(shù)y=g（x）在其圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線為l₂，l₁平行于l₂．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）．
y=f（x）的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)（0，a）；y=g（x）的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)（a，0），
∴f′（0）=g′（a）．
∴．
∵a＞0，∴a=1
∴g（x）=lnx．
（2）①當(dāng)x＞1時(shí)，由 得 恒成立．
令 ，則 ．
令 ，則 ，
∴h（x）在[1，+∞）上遞增．
∴?x＞1，h（x）＞h（1）=0．
∴φ′（x）＞0．
∴φ（x）在[1，+∞）上遞增．
∴m≤φ（1）=1．
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由 得 即m＞φ（x）恒成立．
同①可得φ（x）在（0，1]上遞減．
∴m≥φ（1）=1．
綜合①②得m=1．
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求兩函數(shù)在與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值
（2）不等式 恒成立，即當(dāng)x＞1時(shí) 恒成立；當(dāng)0＜x＜1時(shí)得 恒成立．構(gòu)造新函數(shù) ，求其在[1，+∞）的最小值，在（0，1]上的最大值即可．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．