Question

三棱柱ABC-A1B1

C

1

中，AA₁與AC、AB所成角均為60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA₁，則A₁B與AC₁所成角的余弦值為（　�。�

• A．1
• B．-1
• C．

  3

  3

• D．-

  3

  3

Answer 1

分析：連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)E，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD、DE．證出DE是△A₁BC的中位線，得DE

∥

.

1

2

A₁B，因此AE、ED所成的銳角或直角就是A₁B與AC₁所成的角．然后利用題中數(shù)據(jù)在△AED中分別算出邊AE、ED、AD的長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理列式，即可算出異面直線A₁B與AC₁所成角的余弦值．

解答：解：連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)E，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD、DE，
∵四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，∴E是A₁C的中點(diǎn)
∵D是BC的中點(diǎn)，∴DE是△A₁BC的中位線，可得DE

∥

.

1

2

A₁B，
因此，∠AED（或其補(bǔ)角）就是異面直線A₁B與AC₁所成的角．
設(shè)AB=AC=AA₁=2，可得
∵∠A₁AB=60°，
∴△A₁AB是等邊三角形，可得A₁B=2，得DE=

1

2

A₁B=1．
同理，等邊△A₁AC中，中線AE=

3

2

A₁A=

3

，
又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D為BC中點(diǎn)，
∴AD=

1

2

BC=

1

2

AB2+AC2

=

2

由此可得△ADE中，cos∠AED=

AE2-ED2-AD2

2AE•ED

=

3+1-2

2× 3 ×1

=

3

3

．
即異面直線A₁B與AC₁所成角的余弦值為

3

3

．
故答案為：

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊的三棱柱中，求異面直線A₁B與AC₁所成角的余弦值．著重考查了棱柱的性質(zhì)、三角形中位線定理和異面直線所成角的定義及求法等知識(shí)，屬于中檔題．