在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，直線//平面，并證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，求二面角的大小.

 

 

 

 

 

【答案】

 

（Ⅰ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),

∥平面.     …………………2分

證明：取的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、AN、，

MN∥，AE∥，

 四邊形MNAE為平行四邊形，可知 ME∥AN

在平面內(nèi)∥平面.  ………………5分

（方法二）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，連結(jié).

∥，又為的中點(diǎn),

∥平面∥平面.

（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，, ,又,

可知,所以,平面平面,

所以二面角的大小為；…………………7分

又二面角的大小為二面角與二面角大小的和，

只需求二面角的大小即可；

過A點(diǎn)作交DE于F，則平面,，

過F作于H，連結(jié)AH，

則AHF即為二面角的平面角，          …………………………9分

，，，

所以二面角的大小為．   …………………………12分

向量法：以為原點(diǎn)，建立如圖空間坐標(biāo)系，

則……7分

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

因?yàn)?sub>

所以即令，所以，

同理可求平面的一個(gè)法向量，………………10分

所以=，

所以二面角的大小為．…………………12分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：黃岡中學(xué)　高二數(shù)學(xué)(下冊(cè))、考試卷3　空間的角度與距離同步測(cè)試卷 題型：044

如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E、F分別在、上，且AE⊥，AF⊥．

(1)求證：⊥平面AEF；

(2)若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角(或直角)，則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等．

試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，時(shí)，求平面AEF與平面所成角的大�。�(用反三角函數(shù)值表示)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在上，且，．

（1）求證：平面；

（2）若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間有定理：若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成角相等，試根據(jù)上述定理，在時(shí)，求平面與平面所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省高三下學(xué)期3月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分14分）

在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，直線//平面，

并證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，求二面角   

的大小.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年湖北省高三2月調(diào)研考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，直線//平面，并證明你的結(jié)論；

（2）在（Ⅰ）成立的條件下，求二面角的大小.

 

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