Question

在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，AD是BC邊上的高，且AD=BC
（Ⅰ）若B=C，求sinA的值；
（Ⅱ）求

c

b

+

b

c

的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理的應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)B=C，即可求出tanA，然后求sinA的值；
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理和輔助角公式將

c

b

+

b

c

進行化簡，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論

解答： .解：（I）∵B=C

∴AD=2BD=2DC，
即tan

A

2

=

1

2

，
∴tanA=

2× 1 2

1-( 1 2 )2

=

4

3

，
∴sinA=

4

5

．
（II）由題意得：

1

2

bcsin?A=

1

2

a2，
∴

a2

bc

=sin?A，
則

c

b

+

b

c

=

b2+c2

bc

=

a2+bccos?A

bc

=sin?A+2cos?A=

5

sin(A+θ)，其中cosθ=

1

5

，

π

3

＜θ＜

π

2

，
易知B=C時，A最大，設(shè)為a，
由 （I）知，

π

4

＜A＜

π

3

，
又0＜A＜π，
∴A+θ∈（θ，θ+π）⊆（0，π），
∴當(dāng)A+θ=

π

2

，即

5

sin(A+θ)取到最大值

5

，
當(dāng)A→0時，

5

sin(A+θ)→2且

5

sin(A+θ)＞2，
當(dāng)A=π時，

5

sin(A+θ)=

5

×(

4

5

×

1

5

+

3

5

×

2

5

)=2，
∴

c

b

+

b

c

∈[2，

5

]．

點評：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力．