Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，短軸長是2．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)橢圓C的下頂點為D，過點D作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，這兩條直線與橢圓C的另一個交點分別為M，N．設(shè)l₁的斜率為k（k≠0），△DMN的面積為S，當(dāng)

S

|k|

＞

16

9

時，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，短軸長是2，結(jié)合a²=b²+c²，即可求出a，b的值；
（2）設(shè)l₁的方程為y=kx-1，代入

x2

4

+y²=1，求出M的坐標(biāo)，可得DM，用-

1

k

代k得DN，求出△DMN的面積，可得

S

|k|

=

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

，利用

S

|k|

＞

16

9

，可得

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

＞

16

9

，從而可求k的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c，則由題意得

c a = 3 2 b=1

，
又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b=1．                                  …（4分）
（2）由（1）知，橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1，所以橢圓C與y軸負(fù)半軸交點為D（0，-1）．
因為l₁的斜率存在，所以設(shè)l₁的方程為y=kx-1，
代入

x2

4

+y²=1，得M（

8k

1+4k2

，

4k2-1

1+4k2

），
從而DM=

8|k| 1+k2

1+4k2

．  …（6分）
用-

1

k

代k得DN=

8 1+k2

4+k2

．
所以△DMN的面積S=

1

2

?

8|k| 1+k2

1+4k2

×

8 1+k2

4+k2

=

32(1+k2)|k|

(1+4k2)(4+k2)

．                …（8分）
則

S

|k|

=

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

，
因為

S

|k|

＞

16

9

，即

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

＞

16

9

，
整理得4k⁴-k²-14＜0，解得-

7

4

＜k²＜2
所以0＜k²＜2，即-

2

＜k＜0或0＜k＜

2

．
從而k的取值范圍為（-

2

，0）∪（0，

2

）．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查解不等式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．