Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱BB₁和DD₁的中點．
（1）求證：平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）試在棱DC上取一點M，使D₁M⊥平面ADE；
（3）設正方體的棱長為1，求四面體A₁-FEA的體積．

Answer 1

分析：（1）證明四邊形DFB₁E為平行四邊形，再利用AD∥B₁C₁，這樣，面平面B₁FC內有2條相交線B₁C₁和B₁F平行于另一個平面．
（2）取DC中點M，證明D₁M⊥B₁C₁，D₁M⊥FC₁，從而D₁M⊥平面B₁FC₁，再根據平面B₁FC₁∥平面ADE，證得D₁M⊥平面ADE．
（3）等體積法，四面體A₁-FEA和四面體F-EAA₁等體積，而面體F-EAA₁的高是正方體棱長，面積是正方體一個面的面積，所以體積可求．

解答：解：（1）證明：∵E、F分別為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱BB₁和DD₁中點．∴DF∥B₁E且DF=B₁E
∴四邊形DFB₁E為平行四邊形，
即FB₁∥DE，
由∵AD∥B₁C₁（2分）
又AD∩DE=D，B₁C₁∩B₁F=B₁
∴平面B₁FC∥平面ADE．（4分）

（2）證明：取DC中點M，連接D₁M，
由正方體性質可知，D₁M⊥B₁C₁，
且△DD₁M≌△C₁D₁F  （5分）
所以∠D₁C₁F=∠DD₁M，
又∠D₁C₁F+∠D₁FC₁=90⁰
所以∠D₁D₁M+∠D₁FC₁=90⁰
所以D₁M⊥FC₁（6分）
又FC₁∩B₁C₁=C₁
∴D₁M⊥平面B₁FC₁
又由（1）知平面B₁FC₁∥平面ADE．
所以D₁M⊥平面ADE．（8分）

（3）解：由正方體性質有點F到棱AA₁的距離及點E到側面A₁ADD₁的距離都是棱長1（9分）
∴S△AA1F=

1

2

•AA1•1=

1

2

∴VA1-AEF=VE-AA1F=

1

3

•

1

2

•1=

1

6

（12分）

點評：本題考查面面平行的證明方法、線面垂直的證明方法及等體積法．