Question

數列{a_n}滿足3a_n=2S_n+3，n∈N^*
（Ⅰ） 求a₁及數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 令b_n=

1

(log3an)•(log3an+1)

（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知知條件推導出3a₁=2a₁+3，解得a₁=3．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

an-

3

2

an-1，由此求出an=3n．
（Ⅱ）b_n=

1

(log3an)•(log3an+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求法能求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數列{a_n}滿足3a_n=2S_n+3，n∈N^*，
∴n=1時，3a₁=2a₁+3，解得a₁=3．
n≥2時，Sn=

3

2

an-

3

2

，Sn-1=

3

2

an-1-

3

2

，
a_n=S_n-S_n-1=

3

2

an-

3

2

an-1，
整理，得a_n=3a_n-1，
∴數列{a_n}是等比數列，公比為3，首項為3，
∴an=3n．
（Ⅱ）b_n=

1

(log3an)•(log3an+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．