Question

設f（x）=

a-2x

1+2x

，其中實常數a＞-1
（1）求函數f（x）的定義域和值域
（2）討論函數f（x）的單調性和奇偶性，并證明你的結論．

Answer 1

考點：指數函數綜合題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據條件即可求函數f（x）的定義域和值域
（2）根據函數奇偶性和單調性的定義和性質進行判斷．

解答： 解：（1）∵1+2^x＞0恒成立，∴函數f（x）的定義域為（-∞，+∞），
f（x）=

a-2x

1+2x

=

a+1-(1+2x)

1+2x

=

a+1

1+2x

-1，
∵a＞-1，
∴a+1＞0
∵1+2^x＞1，∴0＜

1

1+2x

＜1
則0＜

a+1

1+2x

＜a+1，-1＜

a+1

1+2x

-1＜a，
即函數的值域（-1，a）．
（2）f（-x）=

a-2-x

1+2-x

=

a•2x-1

1+2x

，
若f（-x）=f（x），即-1+a•2^x=a-2^x，此時a=-1，不成立，
若f（-x）=-f（x），即-1+a•2^x=-a+2^x，此時a=1，此時函數為奇函數，
若a≠1，則函數非奇非偶函數．
∵a+1＞0，函數y=1+2^x為增函數，y=

1

1+2x

是減函數，
y=

a+1

1+2x

是減函數，y=

a+1

1+2x

-1是減函數，
則f（x）是減函數．

點評：本題主要考查指數函數單調性和值域的應用，利用函數奇偶性和單調性的定義和性質是解決本題的關鍵．