如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形， PA⊥底面ABCD，E，F分別是AC，PB的中點．

(Ⅰ)證明：EF∥平面PCD；

(Ⅱ)若PA＝AB，求EF與平面PAC所成角的大�。�

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：如圖，連結BD，則E是BD的中點．

　　又F是PB的中點，所以EF∥PD．

　　因為EF不在平面PCD內，所以EF∥平面PCD．(5分)

　　(Ⅱ)解： 連結PE．

　　因為ABCD是正方形，所以BD⊥AC．

　　又PA⊥平面ABC，

　　所以PA⊥BD．

　　因此BD⊥平面PAC．

　　故∠EPD是PD與平面PAC所成的角．

　　因為EF∥PD，

　　所以EF與平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．

　　因為PA＝AB＝AD，∠PAD＝∠BAD＝90°，

　　所以Rt△PAD≌Rt△BAD．

　　因此PD＝BD．

　　在Rt△PED中，

　　sin∠EPD＝，

　　∠EPD＝30°．

　　所以EF與平面PAC所成角的大小是30°．(7分)


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點D到平面PCE的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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