Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2．
（Ⅰ）若D為AA₁中點(diǎn)，求證：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）在AA₁上是否存在一點(diǎn)D，使得二面角B₁-CD-C₁的大小為60°．

Answer 1

分析：法一（Ⅰ）D為AA₁中點(diǎn)，推出平面B₁CD內(nèi)的直線CD，垂直平面B₁C₁D內(nèi)的兩條相交直線DC₁，B₁C₁可得CD⊥平面B₁C₁D，即可得到
平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）在平面ACC₁A₁內(nèi)過(guò)C₁作C₁E⊥CD，交CD或延長(zhǎng)線或于E，連EB₁，則EB₁⊥CD，可得∠B₁EC₁為二面角B₁-CD-C₁的平面角，設(shè)AD=x，
△DCC₁的面積為1求出x，在AA₁上存在一點(diǎn)D滿足題意．
法二：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系．計(jì)算

C1B1

•

CD

=0   及

DC1

•

CD

=0，推出CD⊥平面B₁C₁D，可得平面B₁CD⊥平面B₁C₁D．
（Ⅱ）設(shè)AD=a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0，a），通過(guò)計(jì)算cos60°=

m • CB

| m |•| CB |

求出a，即可說(shuō)明在AA₁上存在一點(diǎn)D滿足題意．

解答：解法一：（Ⅰ）證明：∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°
∴B₁C₁⊥A₁C₁
又由直三棱柱性質(zhì)知B₁C₁⊥CC₁（1分）∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
∴B₁C₁⊥CD（2分）
由AA₁=BC=2AC=2，D為AA₁中點(diǎn)，可知DC=DC1=

2

，
∴DC²+DC₁²=CC₁²=4即CD⊥DC₁（4分）
又B₁C₁⊥CD∴CD⊥平面B₁C₁D
又CD?平面B₁CD
故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D（6分）

（Ⅱ）解：當(dāng)AD=

2

2

AA1時(shí)二面角B₁-CD-C₁的大小為60°．（7分）
假設(shè)在AA₁上存在一點(diǎn)D滿足題意，
由（Ⅰ）可知B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
如圖，在平面ACC₁A₁內(nèi)過(guò)C₁作C₁E⊥CD，交CD或延長(zhǎng)線或于E，連EB₁，則EB₁⊥CD
所以∠B₁EC₁為二面角B₁-CD-C₁的平面角（8分）
∴∠B₁EC₁=60°
由B₁C₁=2知，C1E=

2 3

3

（10分）
設(shè)AD=x，則DC=

x2+1

∵△DCC₁的面積為1∴

1

2

x2+1

•

2 3

3

=1
解得x=

2

，即AD=

2

=

2

2

AA1
∴在AA₁上存在一點(diǎn)D滿足題意（12分）

解法二：
（Ⅰ）如圖，以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC₁
所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），D（1，0，1）．
即

C1B1

=(0，2，0)，

DC1

=(-1，0，1)，

CD

=(1，0，1)（2分）
由

C1B1

•

CD

=(0，2，0)•(1，0，1)=0+0+0=0得

C1B1

⊥

CD

由

DC1

•

CD

=(-1，0，1)•(1，0，1)=0+0+0=0得

DC1

⊥

CD

（4分）
又DC₁∩C₁B=C₁
∴CD⊥平面B₁C₁D又CD?平面B₁CD
∴平面B₁CD⊥平面B₁C₁D（6分）

（Ⅱ）當(dāng)AD=

2

2

AA1時(shí)二面角B₁-CD-C₁的大小為60°．（7分）
設(shè)AD=a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0，a），

CD

=(1，0，a)，

CB1

=(0，2，2)
設(shè)平面B₁CD的法向量為

m

=(x，y，z)
則由

m • CB1 =0 m • CD =0

?

2y+2z=0 x+az=0

令z=-1
得

m

=(a，1，-1)（8分）
又∵

CB

=(0，2，0)為平面C₁CD的法向量
則由cos60°=

m • CB

| m |•| CB |

?

1

a2+2

=

1

2

（10分）
解得a=

2

，故AD=

2

=

2

2

AA1．
∴在AA₁上存在一點(diǎn)D滿足題意（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力、計(jì)算能力，是中檔題．