Question

已知x∈（0，1）時，函數(shù)f（x）=

1+2x2

2x 1-x2

的最小值為b，若定義在R上的函數(shù)g（x）滿足：對任意m，n∈R都有g(shù)（m+n）=g（m）+g（n）+b，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A、g（x）-1是奇函數(shù)
• B、g（x）+1是奇函數(shù)
• C、g（x）-

  3

  是奇函數(shù)
• D、g（x）-

  3

  是奇函數(shù)

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)x=sinα∈（0，1），則y=

1+2sin2α

sin2α

=

3

2

tanx+

1

2tanx

，再利用基本不等式求最值，從而得到對任意m，n∈R都有g(shù)（m+n）=g（m）+g（n）+

3

；再令F（x）=g（x）+

3

，可得F（x）是奇函數(shù)即可．

解答： 解：設(shè)x=sinα∈（0，1），則y=

1+2sin2α

sin2α

=

3

2

tanx+

1

2tanx

≥2

3 4

=

3

（當(dāng)且僅當(dāng)

3

2

tanx=

1

2tanx

，x=

π

6

時，等號成立），故b=

3

；
故對任意m，n∈R都有g(shù)（m+n）=g（m）+g（n）+

3

成立；
令F（x）=g（x）+

3

，則g（x）=F（x）-

3

；
故g（m+n）=g（m）+g（n）+

3

可化為F（x+y）=F（x）+F（y）；
從而F（0）=F（0）+F（0），故F（0）=0；
故F（0）=F（x）+F（-x）=0；
故F（x）是奇函數(shù)，
故選：D

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及三角函數(shù)的化簡與最值的求法，同時考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．