Question

已知：等差數列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求

Sn-an

n

的最大值及相應的n的值．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：導數的綜合應用,等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列的性質結合已知列式求得首項和公差，代入等差數列的通項公式得答案；
（2）求出等差數列的前n項和，代入

Sn-an

n

整理，然后利用導數求最值，且求出n的值．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}為等差數列，
∴a₂+a₅=a₃+a₄=15，
∴

a2+a5=15 a2a5=54

，解得

a2=6 a5=9

或

a2=9 a5=6

，
∵d＜0，
∴a₂=9，a₅=6，
則a₁=10，d=-1．
∴a_n=11-n；
（2）∵a₁=10，a_n=11-n，
∴Sn=-

1

2

n2+

21

2

n，

Sn-an

n

=

- 1 2 n2+ 21 2 n-(11-n)

n

=-

1

2

(n+

22

n

)+

23

2

．
令f(x)=x+

22

x

，f′(x)=1-

22

x2

=0，
知f(x)在(0，

22

)上單減，在(

22

，+∞)上單增，
又4＜

22

＜5，
而f(4)=9

1

2

＞f(5)=9

2

5

．
∴當n=5時，

Sn-an

n

取最大值為-

1

2

×

47

5

+

23

2

=

34

5

．

點評：本題考查了等差數列的性質，考查了等差數列的前n項和，訓練了利用導數研究函數的單調性，是中檔題．