Question

已知函數(shù)f（x）=x2+alnx（a≠0）
（Ⅰ）a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有無(wú)極值，若有，求之．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）先求導(dǎo)，在分類討論，當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，無(wú)極值，當(dāng)a＜0時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值即可求出

解答： 解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=x²-2lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，
令f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，∞）；遞減區(qū)間為（0，1]．
（2）∵f（x）=x²+alnx，其定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2x+

a

x

=

2x2+a

x

，
①當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)極值，
②當(dāng)a＜0時(shí)，
令f′（x）=0，解得x=

- a 2

，
當(dāng)0＜x＜

- a 2

時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

- a 2

時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=

- a 2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（

- a 2

）=-

a

2

+

a

2

ln（-

a

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極和極值，考查了推理能力，分類討論的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．