Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥BB₁C₁C，BC=1，AB=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

．
（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）P是線段BB₁上的動點，當(dāng)平面C₁AP⊥平面AA₁B₁B時，求線段B₁P的長；
（Ⅲ）若E為BB₁的中點，求二面角C₁-AE-A₁平面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）運用線面垂直的判定和性質(zhì)定理，即可得證；
（Ⅱ）由面面垂直的判定定理，可得面ABB₁A₁⊥面BB₁C₁C過C₁作C₁P⊥BB₁于P，則C₁P⊥面AA₁B₁B，在直角三角形BB₁C₁中，即可解得B₁P；
（Ⅲ）運用線面垂直的判斷和性質(zhì)，過P作PH⊥AE，交AE所在直線于點H，則有∠C₁HP為二面角C₁-AE-A₁平面角．再在三角形C₁HP中，即可得到平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，得AB⊥C₁B，
由BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
知∠C₁BC=90°，即C₁B⊥CB，
又CB∩BA=A，
故C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：由已知AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，
知面ABB₁A₁⊥面BB₁C₁C，
過C₁作C₁P⊥BB₁于P，
則C₁P⊥面AA₁B₁B，
因C₁P?面C₁AP，
故平面C₁AP⊥平面AA₁B₁B，
在直角三角形BB₁C₁中，
B₁P=B₁C₁cos60°=

1

2

；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知C₁P⊥面AA₁B₁B，
過P作PH⊥AE，交AE所在直線于點H，
則AE⊥平面C₁HP，即有AE⊥C₁H，
∠C₁HP為二面角C₁-AE-A₁平面角．
由三角形相似求得：PH=

5

5

，又C1P=

3

2

，
∴tan∠C1HP=

C1P

PH

=

3

2

/

5

5

=

15

2

，
故cos∠C1HP=

2 19

19

．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系：垂直，考查線面垂直的判斷和性質(zhì)，以及面面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間的二面角的求法，考查運算能力，屬于中檔題．