Question

設f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（1）求g（x）的單調區(qū)間和最小值；
（2）討論g（x）與g（

1

x

）的大小關系．

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調性極值最值即可得出．
（2）令h（x）=g（x）-g(

1

x

)=2lnx+

1

x

-x（x＞0）．可得h′（x）=

-(x-1)2

x2

≤0，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調遞減．由于h（1）=0，即可得出大小關系．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

（x＞0）．
∴g（x）=lnx+

1

x

（x＞0）．
∴g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
令g′（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調遞減；當1＜x時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調遞增．
∴當x=1時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，g（1）=1．
綜上可得：函數(shù)g（x）單調遞減區(qū)間為（0，1）；函數(shù)g（x）單調遞增區(qū)間為[1，+∞），最小值為1．
（2）g（x）=lnx+

1

x

（x＞0），g(

1

x

)=-lnx+x．
令h（x）=g（x）-g(

1

x

)=2lnx+

1

x

-x（x＞0）．
∴h′（x）=

2

x

-

1

x2

-1=

-(x-1)2

x2

≤0，
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調遞減．
當x=1時，h（1）=0，此時g（x）=g(

1

x

)．
當0＜x＜1時，h（1）＞0，此時g（x）＞g(

1

x

)．
當1＜x時，h（1）＜0，此時g（x）＜g(

1

x

)．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了分類討論的思想方法、構造函數(shù)法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．