Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為

2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P，Q，M，N橢圓C上四點，已知

PF

與

FQ

共線，

MF

與

FN

共線，且

PF

•

MF

=0，求四邊形PMQN面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)F（c，0），O到直線l的距離為

c

2

=

2

2

，又e=

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F（1，0），且PQ⊥MN，直線PQ、MN中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為k，PQ方程為y=k（x-1），將此式代入橢圓方程，得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，推導(dǎo)出|PQ|=

12(k2+1)

4k2+3

．當k≠0時，得|MN|=

12( 1 k2 +1)

4 k2 +3

，由此求出四邊形面積S≥

288

49

．當k=0時，PQ為橢圓長軸，|PQ|=4，|MN|=3，S=

1

2

|PQ||MN|=6．所以四邊形PMQN面積的最小值為

288

49

．

解答： 解：（1）設(shè)F（c，0），過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，l的斜率為1，
直線l的方程為x-y-c=0，
O到直線l的距離為

c

2

=

2

2

，
解得c=1，又e=

c

a

=

1

2

，
解得a=2，∴b²=4-1=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F（1，0），且PQ⊥MN，
直線PQ、MN中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為k，
又PQ過點F（1，0），故PQ方程為y=k（x-1），
將此式代入橢圓方程，得：
（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)P、Q兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
從而|PQ|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=

144(k2+1)2

(4k2+3)2

，
∴|PQ|=

12(k2+1)

4k2+3

．
（i）當k≠0時，MN的斜率為-

1

k

，同理推得|MN|=

12( 1 k2 +1)

4 k2 +3

，
故四邊形面積S=

1

2

|PQ|•|MN|=

72(k2+1)( 1 k2 +1)

(4k2+3)( 4 k2 +1)

=

72(k2+ 1 k2 +2)

12(k2+ 1 k2 )+25

，
令μ=k2+

1

k2

，得S=

72(μ+2)

12μ+25

=6（1-

1

12μ+25

），
∵μ=k2+

1

k2

≥2，當k=±1時，μ=2，S=

288

49

，
且S是以μ為自變量的增數(shù)，
∴S≥

288

49

．
（ii）當k=0時，PQ為橢圓長軸，|PQ|=4，|MN|=3，
S=

1

2

|PQ||MN|=6．
綜合（i），（ii）知，四邊形PMQN面積的最小值為

288

49

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．