設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對于所有的正整數(shù)n,都有Sn=.證明:{an}是等差數(shù)列.

 

答案:
解析:

證明:證法一:令d=a2a1,下面用數(shù)學歸納法證明an=a1+n1dnN*

n=1時,上述等式為恒等式a1=a1

n=2時,a1+21d=a1+a2a1=a2,等式成立.

假設(shè)當n=kkNk≥2)時命題成立,即ak=a1+k1d

由題設(shè),有,

Sk+1=Sk+ak+1,所以+ak+1

ak=a1+k1d代入上式,

得(k+1)(a1+ak+1=2ka1+kk1d+2ak+1

整理得(k1ak+1=k1a1+kk1d

k≥2,ak+1=a1+[(k+1)-1d.

n=k+1時等式成立.

,等式對所有的自然數(shù)n成立,從而{an}是等差數(shù)列.

證法二:當n≥2時,由題設(shè),

所以

同理有

從而

整理得:an+1an=anan1,對任意n≥2成立.

從而{an}是等差數(shù)列.

 


練習冊系列答案
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3
2
,Sn=2an+1-3

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(2)求數(shù)列an的通項公式;
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3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

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3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
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(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內(nèi)的整點(整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
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(3)設(shè)數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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S4
a3
的值為(  )

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