Question

如圖所示，在半徑為1的⊙O中，引兩條互相垂直的直徑AE和BF，在EF上取點C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q，弦EF交AC于D．

證明：四邊形APQB的面積是1．

Answer 1

答案：
解析：

證明：因為AE、BF為互相垂直的兩條直徑，垂足O為圓心， 　　所以AE、BF互相平分，垂直且相等， 　　所以四邊形ABEF是正方形． 　　所以∠ACB＝∠AEF＝45°，即∠DCQ＝∠QED． 　　所以D、Q、E、C四點共圓． 　　連結CE、DQ， 　　則∠DCE＋∠DQE＝180°． 　　因為AE為⊙O的直徑， 　　所以∠DCE＝90°，∠DQE＝90°． 　　因為∠FOE＝90°， 　　進而DQ∥BF， 　　所以S△BPQ＝S△BPD． 　　所以S△ABP＋S△BPQ＝S△ABP＋S△BPD， 　　即S四邊形ABQP＝S△ABD． 　　因為⊙O的半徑為1， 　　所以正方形邊長為2， 　　即AB＝AF＝2． 　　所以S四邊形ABQP＝S△ABD＝AB·AF＝1． 　　分析：由已知條件可以證明四邊形ABEF是正方形，且邊長為，則正方形面積為2．而△ABD的面積為正方形面積的一半，所以，只需證明S四邊形APQB＝S△ABD，即證S△BPD＝S△BPQ，即證DQ∥PB．因為BP⊥AE，所以只需證DQ⊥AE．