Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若{b_n}的前n項和為T_n，且T_n+

2n

an+1

=c（c為常數(shù)），證明b₂+b₄+…+b_2n＜

4

9

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=2a_n+1變形為a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由T_n+

2n

an+1

=c，an=2n-1．可得Tn+

2n

2n

=c，當(dāng)n≥2時，Tn-1=c-

2(n-1)

2n-1

，可得b_n=T_n-T_n-1=

n-2

2n-1

，b_2n=

n-1

4n-1

．令S_n=b₂+b₄+…+b_2n=0+

1

4

+

2

42

+…+

n-1

4n-1

，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可證明．

解答： （1）解：由a_n+1=2a_n+1變形為a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為公比，a₁+1=2為首項的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴an=2n-1．
（2）證明：∵T_n+

2n

an+1

=c，an=2n-1．
∴Tn+

2n

2n

=c，
∴當(dāng)n≥2時，Tn-1=c-

2(n-1)

2n-1

，
∴b_n=T_n-T_n-1=

n-2

2n-1

，
∴b_2n=

2n-2

22n-1

=

n-1

4n-1

．
令S_n=b₂+b₄+…+b_2n=0+

1

4

+

2

42

+…+

n-1

4n-1

，
∴

1

4

Sn=

1

42

+

2

43

+…+

n-2

4n-1

+

n-1

4n

，
∴

3

4

Sn=

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

-

n-1

4n

=

1 4 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-

n-1

4n

=

1

3

(1-

1

4n-1

)-

n-1

4n

，
∴S_n=

4

9

(1-

3n+1

4n

)＜

4

9

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了“放縮法”證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．