Question

設(shè)f（x）=sin（ωx-

π

6

），ω＞0，若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m（m為常數(shù)）相切，并且切點的橫坐標依次成公差為π的等差數(shù)列．
（1）求ω及m的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，當x∈（

π

2

，

7π

4

）時，g（x）=cosα的交點橫坐標依次為x₁，x₂，x₃，若x₁，x₂，x₃-

π

4

構(gòu)成等差數(shù)列，求鈍角α的值．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,等差數(shù)列的通項公式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先根據(jù)T=π=

2π

ω

可求出ω，函數(shù)f（x）的最大值等于1，可求m的值．
（2）將f（x）=sin（2x-

π

6

）的圖象向左平移

π

12

，得到g（x）=sin2x，由其對稱性，可設(shè)交點橫坐標，通過x₁，x₂，x₃-

π

4

構(gòu)成等差數(shù)列，由此能求出鈍角α的值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（ωx-

π

6

），ω＞0，若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m（m為常數(shù)）相切，
并且切點的橫坐標依次成公差為π的等差數(shù)列．f（x）的周期為π，T=π=

2π

ω

，ω=2，函數(shù)的最值為±1，
∴m=±1．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

，得到y(tǒng)=g（x）=sin[2（x+

π

12

）-

π

6

]=sin2x的圖象，
∴g（x）=sin2x，
∵g（x）=cosα，
∴sin2x=cosα，
∴由三角函數(shù)圖象的周期性，可設(shè)交點橫坐標分別為x₁，

3π

2

-x₁，π+x₁，
∵當x∈（

π

2

，

7π

4

）時，g（x）=cosα的交點橫坐標x₁，x₂，x₃，若x₁，x₂，x₃-

π

4

構(gòu)成等差數(shù)列，
∴2（

3π

2

-x1）=x1+π+x1-

π

4

，則x₁=

9

16

π．
∴cosα=sin

9π

8

=-sin

π

8

=cos

5π

8

，
∴α=

5π

8

．

點評：本題考查數(shù)列與向量的綜合運用，解題時要認真審題，注意三角函數(shù)恒等式的靈活運用．