【題目】已知函數(shù).
(1)試討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在定義域上有兩個極值點,試問:是否存在實數(shù)
,使得
?
【答案】(1)見解析 (2)存在;
【解析】
(1)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合基本不等式,分類討論,即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由函數(shù)在定義域上有兩個極值點,即方程
在
上有兩個不相等的實數(shù)根,轉(zhuǎn)化為方程
在
上有兩個不相等實數(shù)根
,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),求得
,令
,即可求解.
(1)由題意,函數(shù)的定義域為
,
則,
因為,當(dāng)且僅當(dāng)
,即
時取“等號”,
所以,
當(dāng)時,
在
上恒成立,則此時
在
上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,
,
令,解得
,
,
由,
而,故
.
由可得
或
,
即此時在
,
上單調(diào)遞增;
由可得
,
即此時在
上單調(diào)遞減;
綜上所述,當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
在
,
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
(2)因為,
由題知方程在
上有兩個不相等的實數(shù)根,
即方程在
上有兩個不相等實數(shù)根
,
因此有,解得
,
這時,
,
于是
.
令,解得
,滿足
.
所以存在實數(shù),使得
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是矩形,沿對角線
將
折起,使得點
在平面
上的射影恰好落在邊
上.
(1)求證:平面平面
;
(2)當(dāng)時,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】馬林●梅森是17世紀法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士,也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物,梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作,人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻,將形如2P﹣1(其中p是素數(shù))的素數(shù),稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是( )
A.3B.4C.5D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為直角梯形,
,
,平面
平面
,
為
的中點,
,
,
.
(1)求證:平面平面
;
(2)若異面直線與
所成角為
,求
的長;
(3)在(2)的條件下,求平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合,若對于任意
,存在
,使得
成立,則稱集合
是“
集合”.給出下列5個集合:
①;②
;③
;
④;⑤
.
其中是“集合”的所有序號是( )
A.②③B.①④⑤C.②③⑤D.①②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)當(dāng)a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點為圓
:
上一動點,過點
分別作
軸,
軸的垂線,垂足分別為
,
,連接
延長至點
,使得
,點
的軌跡記為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)若點,
分別位于
軸與
軸的正半軸上,直線
與曲線
相交于
,
兩點,且
,試問在曲線
上是否存在點
,使得四邊形
為平行四邊形,若存在,求出直線
方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(
)經(jīng)過點
,離心率為
,
,
分別為橢圓的左、右焦點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若點(
)在橢圓C上,求證;直線
與直線
關(guān)于直線l:
對稱.
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