Question

變量x、y滿足

(1)設(shè)z＝，求z的最小值；

(2)設(shè)z＝x²＋y²，求z的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析： 由題意畫出可行域，分別求出可行域各頂點、、坐標(biāo).（1）將所求目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造為，此時可以看作是可行域內(nèi)的點與原點連成直線的斜率的最小值，由于可行域范圍在第一象限內(nèi)，所以可行域內(nèi)的點與原點連線中傾斜角最小的為，故，再由頂點坐標(biāo)可求出的最小值；（2）將目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造為，此時可以看作是可行域內(nèi)的點與原點之間距離的范圍，經(jīng)查驗比較可得，，通過計算、的值可以求出所求的取值范圍.提示：在解決此類線性規(guī)劃問題中，常常把目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造出斜截式的直線方程、過原點直線的斜率、與某一定點間的距離等等，再通過求截距、斜率、距離來求出目標(biāo)函數(shù)的值.

試題解析：由約束條件，作出可行域如圖所示.

    3分

由，解得

由，解得

由，解得.      6分

（1）因為，所以的值即是可行域中的點與原點連線的斜率.

觀察圖形可知        9分

（2）的幾何意義是可行域上的點到原點的距離的平方，

結(jié)合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，，，

所以所求的取值范圍為.

考點：1線性規(guī)劃問題；2.斜率的計算.