Question

函數(shù)y=x³-3x+1在x₀處取極大值y₀，而函數(shù)y=a^x-1過點（x₀，y₀），則函數(shù)y=|a^x-1|的增區(qū)間為（　�。�

• A、（-∞，+∞）
• B、（-∞，0）
• C、（-∞，1）
• D、（0，+∞）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,復合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值可得點（x₀，y₀），即可得出a，再利用絕對值的意義與復合函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性點（x₀，y₀），即可得出．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）=x³-3x+1，∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f′（x）=0，解得x=±1．
當x＞1或x＜-1時，f′（x）＞0；當-1＜x＜1時，f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增；在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減．
因此當x=-1時，函數(shù)f（x）取得最大值，f（-1）=3．
∴x₀=-1，y₀=3．
∴函數(shù)y=a^x-1過點（-1，3），
∴3=a^-1-1，解得a=

1

4

．
∴函數(shù)y=|(

1

4

)x-1|=

( 1 4 )x-1，x≤0 1-( 1 4 )x，x＞0

的增區(qū)間為（0，+∞）．
故選：D．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、絕對值的意義、復合函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．