【題目】定義:直線關于圓的圓心距單位圓心到直線的距離與圓的半徑之比.
(1)設圓,求過點
的直線關于圓
的圓心距單位
的直線方程.
(2)若圓與
軸相切于點
,且直線
關于圓
的圓心距單位
,求此圓
的方程.
(3)是否存在點,使過點
的任意兩條互相垂直的直線分別關于相應兩圓
與
的圓心距單位始終相等?若存在,求出相應的
點坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)
或
;(3)存在,
.
【解析】
(1)設過的直線方程為
,求得已知圓的圓心和半徑,由新定義,可得方程,求得
,即可得到所求直線方程;
(2)設圓的方程為
,由題意可得
,①
②,
③,解方程可得
,
,
,進而得到所求圓的方程;
(3)假設存在點,設過
的兩直線為
和
,求得兩圓的圓心和半徑,由新定義可得方程,化簡整理可得
,或
,再由恒成立思想可得
,
的方程,解方程可得
的坐標.
解:(1)設過的直線方程為
,
圓的圓心為
,半徑為1,
由題意可得,
解得,
即有所求直線為;
(2)設圓的方程為
,
由題意可得,①
②,
③
解方程可得,
,
,或
,
,
.
則圓的方程為
或
;
(3)假設存在點,設過
的兩直線為
和
,又
的圓心為
,半徑為1,
的圓心為
,半徑為2,
由題意可得,
化簡可得,或
,
即有或
,
解得或
.
則存在這樣的點和
,使得使過
的任意兩條互相垂直的直線
分別關于相應兩圓的距離比始終相等.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一些數(shù)學用語,“塹堵”意指底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱,而“陽馬”指底面為矩形,且有一側棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的塹堵,,若
,當陽馬
體積最大時,則塹堵
的外接球體積為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高校健康社團為調查本校大學生每周運動的時長,隨機選取了80名學生,調查他們每周運動的總時長(單位:小時),按照共6組進行統(tǒng)計,得到男生、女生每周運動的時長的統(tǒng)計如下(表1、2),規(guī)定每周運動15小時以上(含15小時)的稱為“運動合格者”,其中每周運動25小時以上(含25小時)的稱為“運動達人”.
表1:男生
時長 | ||||||
人數(shù) | 2 | 8 | 16 | 8 | 4 | 2 |
表2:女生
時長 | ||||||
人數(shù) | 0 | 4 | 12 | 12 | 8 | 4 |
(1)從每周運動時長不小于20小時的男生中隨機選取2人,求選到“運動達人”的概率;
(2)根據題目條件,完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認為本校大學生是否為“運動合格者”與性別有關.
每周運動的時長小于15小時 | 每周運動的時長不小于15小時 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
總計 |
參考公式:,其中
.
參考數(shù)據:
0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 | |
0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),在同一平面直角坐標系中,將曲線
上的點按坐標變換
得到曲線
,以原點為極點,
軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.設
點的極坐標為
.
(1)求曲線的極坐標方程;
(2)若過點且傾斜角為
的直線
與曲線
交于
兩點,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調查.下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:
非體育迷 | 體育迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計 |
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
(1)根據已知條件完成上面的2×2列聯(lián)表,若按95%的可靠性要求,并據此資料,你是否認為“體育迷”與性別有關?
(2)現(xiàn)在從該地區(qū)非體育迷的電視觀眾中,采用分層抽樣方法選取5名觀眾,求從這5名觀眾選取兩人進行訪談,被抽取的2名觀眾中至少有一名女生的概率.
附:
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),在以
為極點,
軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線
是圓心在極軸上,且經過極點的圓.已知曲線
上的點
對應的參數(shù)
,射線
與曲線
交于點
(1)求曲線、
的直角坐標方程;
(2)若點在曲線
上的兩個點且
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間,有專業(yè)機構認為該事件在一段時間內沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志是“連續(xù)10日,每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據信息如下:
甲地:總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4;
乙地:總體平均數(shù)為1,總體方差大于0;
丙地:總體平均數(shù)為2,總體方差為3;
丁地:中位數(shù)為2,眾數(shù)為3;
則甲、乙、兩、丁四地中,一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是( )
A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點在
上,以
為切點的
的切線的斜率為
,過
外一點
(不在
軸上)作
的切線
、
,點
、
為切點,作平行于
的切線
(切點為
),點
、
分別是與
、
的交點(如圖):
(1)用、
的縱坐標
、
表示直線
的斜率;
(2)若直線與
的交點為
,證明
是
的中點;
(3)設三角形面積為
,若將由過
外一點的兩條切線及第三條切線(平行于兩切線切點的連線)圍成的三角形叫做“切線三角形”,如
,再由
、
作“切線三角形”,并依這樣的方法不斷作切線三角形……,試利用“切線三角形”的面積和計算由拋物線及
所圍成的陰影部分的面積
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