Question

已知冪函數f（x）=x^{（2k-1）（3-k）}（k∈z）是偶函數且在（0，+∞）上為增函數．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求x∈[-1，1]時，函數g（x）=f（x）-mx是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由冪指數大于0求解正數k的值，代入冪指數驗證是否為偶數得答案；
（2）把f（x）的解析式代入g（x），由二次函數的對稱軸與區(qū)間[-1，1]的關系列式求解m的范圍．

解答：解：（1）∵冪函數f（x）=x^{（2k-1）（3-k）}（k∈z）是（0，+∞）上為增函數，
∴（2k-1）（3-k）＞0，解得

1

2

＜k＜3．
∵k∈z，
∴k=1或k=2．
當k=1時，（2k-1）（3-k）=2，滿足函數f（x）為偶函數，
當k=2時，（2k-1）（3-k）=3，不滿足函數f（x）為偶函數．
∴k=1，則f（x）=x²；
（2）∵f（x）=x²，
∴g（x）=f（x）-mx=x²-mx．
對稱軸方程為x=

m

2

．
要使函數g（x）在x∈[-1，1]時為單調函數，則

m

2

≤-1或

m

2

≥1，
解得m≤-2或m≥2．
∴m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點評：本題考查了冪函數的圖象與其指數之間的關系，考查了二次函數單調區(qū)間的求法，關鍵是熟記冪函數的概念及其性質，是中低檔題．