Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前項和，已知a₁≠0，S_n=

2an

a1

-1，n∈N^*
（1）求a₁，a₂；
（2）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{na_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時，a₁=2-1=1，當(dāng)n=2時，a1+a2=

2a2

a1

-1，解得a₂=2．
（2）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n=2a_n-1．即可證明數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（3）由（2）得an=2n-1．設(shè)T_n為數(shù)列{na_n}的前n項和．可得T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）解：當(dāng)n=1時，a₁=2-1=1，當(dāng)n=2時，a1+a2=

2a2

a1

-1，即1+a₂=2a₂-1，解得a₂=2．
（2）證明：當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化為a_n=2a_n-1．
又a₂=2a₁，因此n=1時也成立．
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（3）解：由（2）得an=2n-1．
設(shè)T_n為數(shù)列{na_n}的前n項和．
∴T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2T_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

2n-1

2-1

-n•2n=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．