Question

（本小題滿分12分）二次函數(shù)滿足，且最小值是．

（1）求的解析式；

（2）實(shí)數(shù)，函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件可設(shè)，配方可得，再由的最小值是，從而，即有，；（2），

從而，因此存在兩個(gè)極值點(diǎn)或，再由條件在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此需對(duì)和的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，即可得到關(guān)于的不等式組， 當(dāng)，即時(shí)，由，得， ∴的減區(qū)間是，又∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴（滿足），當(dāng)，即時(shí)，由，得，

∴的減區(qū)間是，又∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴（滿足），即實(shí)數(shù)的取值范圍為．

試題解析：（1）由二次函數(shù)滿足，設(shè)， 2分

則，又∵的最小值是，故，解得，

∴； 6分 ；

（2）， 7分

∴，由，得或，又∵，故， 8分 當(dāng)，即時(shí)，由，得，

∴的減區(qū)間是，又∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴（滿足）， 10分

當(dāng)，即時(shí)，由，得，

∴的減區(qū)間是，又∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴（滿足），綜上所述得，或，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為． 12分 ．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)的解析式；2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用．