Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面SDC⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，，點M是側棱SC的中點．（Ⅰ）求證：SD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C-AM-B的大�。�（Ⅲ）在線段BC求一點N，使點N到平面AMB的距離為．

Answer 1

證明：（Ⅰ）因為DC=SD=2，，
由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，
又平面SDC⊥底面ABCD于DC，SD?平面SDC，
所以，SD⊥平面ABCD．…（3分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥DC，SD⊥AD，又AD⊥DC，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz．…（4分）
于是，，C（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），，，
設為平面CAM的一個法向量，
則，得…（6分）
又，設為平面AMB的一個法向量，
則，得…（8分）
因為，所以二面角C-AM-B為…（9分）
（Ⅲ）設N（m，2，0），（m＞0），則，由公式，得，
所以所求點N為線段BC的中點…（12分）
分析：（I）由已知中DC=SD=2，，由勾股定理得SD⊥DC，結合已知中平面SDC⊥底面ABCD，及面面垂直的性質定理可得SD⊥平面ABCD
（II）建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，求出平面CAM的一個法向量和平面AMB的一個法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C-AM-B的大�。�
（Ⅲ）設N（m，2，0），（m＞0），根據(jù)點到平面距離公式，構造關于m的方程，解方程求出m的值，即可得到N點位置．
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，點到平面間的距離計算，其中建立適當?shù)目臻g坐標系，將二面角問題及點到直線距離問題，轉化為向量問題是解答本題的關鍵．