已知四棱錐P-ABCD，其三視圖和直視圖如圖．
（1）求該四棱錐體積；
（2）證明：平面PAE⊥平面PDE．
分析：（1）根據(jù)三視圖可求四棱錐的高和底面積，然后求出體積．（2）利用面面垂直的判定定理進行證明．
解答：解：（1）由三視圖知底面ABCD為矩形，AB=2，BC=4，頂點P在面ABCD內(nèi)的射影為BC為中點E，棱錐的高為2，…（2分）
則體積VP-ABCD=
1
3
SABCD×PE=
1
3
×2×4×2=
16
3
…（6分）
（2）因為PE⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PE⊥AE，在矩形ABCD中取AD的中點F，
由AB=2，CE=BE=2，得EF=
1
2
AD，
所以AE⊥ED，又ED∩AE=E，所以AE⊥平面PED，
因為AE?平面PAE，
所以，平面PAE⊥平面PDE，…（12分）
點評：本題主要考查三視圖的應用，棱錐的體積公式，以及面面垂直的判定，要求熟練掌握相關的判定定理．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點，AE與BD交于O點，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山東省濟寧一中高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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