Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)y=g（x）對(duì)任意x滿足g（x）=f（4﹣x），求證：當(dāng)x＞2，f（x）＞g（x）；
（3）若x1≠x2 ， 且f（x1）=f（x2），求證：x1+x2＞4．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，∴f'（x）= ．

令f'（x）=0，解得x=2．

x	（﹣∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	↗	極大值	↘

∴f（x）在（﹣∞，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．

∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極大值f（2）=

（2）證明： ， ，

∴F'（x）= ．

當(dāng)x＞2時(shí)，2﹣x＜0，2x＞4，從而e4﹣e2x＜0，

∴F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（2，+∞）是增函數(shù)．

∴

（3）解：證明：∵f（x）在（﹣∞，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．

∴當(dāng)x1≠x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．

不妨設(shè)x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），

又g（x2）=f（4﹣x2），∴f（x2）＞f（4﹣x2）．

∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（4﹣x2）．

∵x2＞2，4﹣x2＜2，x1＜2，且f（x）在區(qū)間（﹣∞，2）內(nèi)為增函數(shù)，

∴x1＞4﹣x2，即x1+x2＞4．

【解析】（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求出極值；（2） ，求出其導(dǎo)函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)的值來(lái)判斷其在（2，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而證得結(jié)論．（3）先由（1）得f（x）在（﹣∞，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，故x1、x2不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；設(shè)x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），即f（x1）＞f（4﹣x2）．再結(jié)合單調(diào)性即可證明結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．