Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，棱AD＝DC＝3，DD1＝4，E是A1A的中點(diǎn)． (1) 求證：A1C∥平面BED (2) 求二面角E—BD—A的大�。� (3) 求點(diǎn)E到平面A1BCD1的距離

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解法一： 連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，則O是AC的中點(diǎn)．連結(jié)EO．有A1C∥EO． ∵EO平面BED，A1C平面BED，∴A1C∥平面BED． 解法二： 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)EO．A1(0，0，4)，C(3，3，0)， E(0，0，2)，O(……2分 ， ，∴A1C∥EO． ∵EO平面BED，A1C平面BED， ∴A1C∥平面BED．…………………………5分
(2)	解法一：∵AC⊥BD于O， 又∵E是AA的中點(diǎn)，∴EB＝ED．∴EO⊥BD． ∴∠EOA是二面角E—BD—A的平面角． 在Rt△EAO中，EA＝AA1＝2，AO＝AC＝ ∴tanEOA＝ 二面角E—BD—A的大小是…………………………………9分 解法二：由于AE⊥平面ABCD，則就是平面ABCD的法向量．…………6分 B(3，0，0)，D(0，3，0)， 設(shè)平面EBD的法向量為 由 令z＝3，則……………………………………………………7分 ∴二面角E—BD—A的大小為arrccos．………………………………9分
(3)	解法一：過點(diǎn)E作EF⊥A1B于F． ∵A1D1⊥平面A1B1BA，EF平面A1B1BA，∴A1D1⊥EF且A1B∩A1D1＝A1． ∴EF⊥平面A1BCD1．…………………………………………………………11分 則EF的長(zhǎng)是點(diǎn)E到平面A1BCD1的距離．…………………………………12分 ∵且A1E＝2，A1B＝5，AB＝3， ∴EF＝即點(diǎn)E到平面A1BCD1的距離是…………………………14分 解法二：D1(0，3，4)，則，設(shè)平面A1BCD1的法向量為 即點(diǎn)E到平面A1BCD1的距離是 又…………………………………………14分