Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹ （n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，若存在整數(shù)m，使對任意n∈N*且n≥2，都有B_3n-B_n＞成立，求m的最大值；
（Ⅲ）令c_n=（-1）ⁿ⁺¹，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，T_2n＜．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題中給出的設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n便可求出數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列，將a1=4代入便可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，然后求寫前n項(xiàng)和Bn的表達(dá)式，進(jìn)而求出的B_3n-B_n表達(dá)式，然后證明B_3n-B_n為遞增數(shù)列，即當(dāng)n=2時(shí)，B_3n-B_n最小，便可求出m的最大值．
（Ⅲ）先將所需證明的不等式化簡為++…+＜，然后利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)證明g（x）=ln（x+1）-為增函數(shù)，即可證明當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，T_2n＜．
解答：解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是-=1，所以數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列．（2分）
又S₁=a₁=2a₁-2²，，所以a₁=4．
所以=2+（n-1）=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ．（4分）
（注：該問也可用歸納，猜想，數(shù)學(xué)歸納法證明的方法）
（Ⅱ）因?yàn)閎_n==log_2n2=，則B_3n-B_n=+++…+．
令f（n）=++…+，
則f（n+1）=++…++++．
所以f（n+1）-f（n）=++-=+-＞+-=0．
即f（n+1）＞f（n），所以數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列．（7分）
所以當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）的最小值為f（2）=+++=．
據(jù)題意，＜，即m＜19．又m為整數(shù)，
故m的最大值為18．（8分）
（Ⅲ）證明：因?yàn)閏_n=（-1）ⁿ⁺¹•，則當(dāng)n≥2時(shí)，
T_2n=1-+-+…+-=（1++++…++）-2（++…+）=++…+．（9分）
下面證++…+＜．
先證一個(gè)不等式，當(dāng)x＞0時(shí)，ln（x+1）＞．
令g（x）=ln（x+1）-（x＞0），則g′（x）=-=＞0，
∴g（x）在（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增，
則g（x）＞g（0）=0，即當(dāng)x＞0時(shí)，ln（x+1）＞，
令x=，則ln＞⇒ln（n+1）-lnn＞，
∴l(xiāng)n（n+2）-ln（n+1）＞，
ln（n+3）-ln（n-2）＞，
…，
ln（2n）-ln（2n-1）＞
以上n個(gè)式相加，即有l(wèi)n（2n）-lnn＞++…+
∴++…+＜ln（2n）-lnn＜ln2＜
從而原不等式得證．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、放縮法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題和解決問題的能力，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．