Question

已知函數f（x）=3x+2--（3a+1）lnx （x＞0，實數a為常數）．
（Ⅰ）a=4時 求函數f（x）在（，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）設，求證：不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|對于任意不相等的x₁，x₂∈（，a）都成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：a=4時，，…（2分）
令f′（x）＜0，可得x∈（），令f′（x）＞0，由于x＞，可得x∈（4，+∞），
∴f（x）在（）上單調遞減，在（4，+∞）上單調遞增 …（4分）
∴在區(qū)間（，+∞）上，當x=4時，f（x）有最小值f（4）=13-26ln2 …（6分）
（Ⅱ）證明：當，，∴f（x）在（，a）上單調遞減，
不妨設x₁＜x₂，則當x₁，x₂∈（，a）時，f（x₁）＞f（x₂），
故不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|等價于f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，…（10分）
令函數g（x）=f（x）+x，則g′（x）=f′（x）+1=
再令h（x）=4x²-（3a+1）x+a，對稱軸x=＜（由于a＜），
∵h（）=＞0，h（a）=a²＞0，∴h（x）＞0當x∈（，a）時恒成立，
即g′（x）＞0當x∈（，a）時恒成立，所以g（x）在（，a）上為增函數，
所以f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
從而不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|對于任意不相等的x₁，x₂∈（，a）都成立． …（15分）
分析：（Ⅰ）求導函數，確定函數的單調性，即可求得函數的最值；
（Ⅱ）先確定f（x）在（，a）上單調遞減，不妨設x₁＜x₂，則當x₁，x₂∈（，a）時，f（x₁）＞f（x₂），證明不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，即證f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．