已知函數(shù)f(x)=ax-x(a＞1).

(1)求函數(shù)f(x)的最小值,并求最小值小于0時a的取值范圍;

(2)令S(n)=f′(1)+f′(2)+…+f′(n-1),證明S(n)＞(2n-2)·f′().

解：(1)由f′(x)=axlna-1,f′(x)＞0,即axlna＞1,∴ax＞.又a＞1,∴x＞-logalna.同理,f′(x)＜0,有x＜-logalna.

∴f′(x)在(-∞,-logalna)上遞減,在(-logalna,+∞)上遞增.∴f(x)min=f(-logalna)=.

若f(x)min＜0,即＜0,則ln(lna)＜-1,∴l(xiāng)na＜.∴a的取值范圍是1＜a＜.

(2)S(n)=(alna-1)+(a2lna-1)+…+(an-1·lna-1)=(a+a2+…+an-1)lna-(++…+)=[(a+an-1)+(a2+an-2)+…+(an-1+a)]·lna-(2n-2)≥(2n-2)lna-(2n-2)=(2n-2)(lna-1)=(2n-2)f′().∴不等式成立.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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