Question

給出下列命題：
①在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)y=x^-1，y=x

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中由三個是增函數(shù)；
②若log_m3＜log_n3＜0，則0＜n＜m＜1；
③若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x-1）的圖象觀點點（1，0）對稱；
④已知函數(shù)f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

，則方程f（x）=

1

2

有2個實數(shù)根；
⑤定義在R上的寒素y=f（x），則y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱
以上命題是真命題的是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)y=x^-1，y=x

1

2

，y=（x-1）²，y=x³的單調(diào)性，從而可判斷①正誤；
②由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可由log_m3＜log_n3＜0，得到0＜n＜m＜1，從而可判斷②的正誤；
③函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于（0，0）對稱，而f（x-1）是函數(shù)f（x）的圖象向右平移一個單位得到的，從而可判斷③的正誤；
④作出函數(shù)f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

，與y=

1

2

的圖象，由其交點個數(shù)可判斷方程f（x）=

1

2

的實數(shù)根個數(shù)，從而可判斷④；
⑤定義在R上的函數(shù)y=f（x），利用函數(shù)y₁=f（x+a），y₂=f（b-x）的圖象關(guān)于直線x=

b-a

2

對稱，可判斷y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，從而可判斷⑤的正誤．

解答： 解：①在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)y=x^-1是減函數(shù)；y=x

1

2

與y=x³是增函數(shù)，y=（x-1）²，在（0，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)y=x^-1，y=x

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中只有2個是增函數(shù)，故①錯誤；
②若log_m3＜log_n3＜0，則-log_m3＞log_n3＞0，即log

1

m

3＞log

1

n

3＞0，
所以，1＜

1

m

＜

1

n

，
所以，0＜n＜m＜1，故②正確；
③因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（0，0）對稱，而f（x-1）是函數(shù)f（x）的圖象向右平移一個單位得到的，
所以，f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，即③正確；
④已知函數(shù)f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

，其圖象與y=

1

2

的圖象如下：

兩曲線有兩個個交點，故方程f（x）=

1

2

有2個實數(shù)根，故④正確；
⑤因為在同一坐標(biāo)系中，對于任何兩個形如y₁=f（x+a），y₂=f（b-x）的函數(shù)，則這兩個函數(shù)關(guān)于直線x=

b-a

2

對稱，
所以函數(shù)y=f（x-2）和函數(shù)y=f（2-x）這兩個函數(shù)關(guān)于直線x=

2-(-2)

2

=2對稱，故⑤正確；
綜上所述，命題是真命題的是②③④⑤，
故答案為：②③④⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于難題．