Question

在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于D、E(圖一)，沿DE將△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC(圖二)．

(1)若F是AB的中點(diǎn)，求證：CF∥平面ADE；

(2)P是AC上任意一點(diǎn)，求證：平面ACD⊥平面PBE；

(3)P是AC上一點(diǎn)，且AC⊥平面PBE，求二面角P－BE－C的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)取BD的中點(diǎn)為M，連續(xù)FM，CM 　　為AB的中點(diǎn)，MF∥AD， 　　由題知為等邊三角形， 　　BD，又DEBD　2分 　　面CFM∥面ADE， 　　面CMF，CF∥面ADE　4分 　　(2)由平面幾何知識(shí)：BECD，ADDE，平面ADE平面BDEC　5分 　　平面BDEC， 　　面ACD 　　面PBE，平面ACD平面PBE　8分 　　(3)法一，由(2)BE面ACD， 　　設(shè)， 　　由題意知BECD，BEPQ， 　　PQC為二面角P－BE－C的平面角　10分 　　AD＝CD， 　　 　　二面角P－BE－C的大小為45°　12分 　　(法二) 　　建立空間直角坐標(biāo)系{DE、DB、DA}，A(0，0，1)， 　　則　9分 　　 　　面PBE，AD面BCED 　　設(shè)二面角P－BE－C的大小為， 　　則　11分 　　二面角P－BE－C的大小為45°　12分