(Ⅰ)求拋物線C的焦點坐標和準線方程;
(Ⅱ)設(shè)直線AB上一點M,滿足=λ
,證明線段PM的中點在y軸上.
解:(Ⅰ)由拋物線C的方程y= ax2 (a<0)得,
焦點坐標為(0,),準線方程為y=
.
(Ⅱ)證明:設(shè)直線PA的方程為y- y0= k1 (x- x0),
直線PB的方程為y- y0=k2(x- x0).
點P(x0,y0)和點A(x1,y1)的坐標是方程組
的解.
將②式代入①式得ax2- k1x+ k1x0-y0=0,
于是x1+ x0=,故x1=
-x0③
又點P(x0,y0)和點B(x2,y2)的坐標是方程組
的解.
將⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0- y0=0.
于是x2+x0=,故x2=
-x0.
由已知得,k2=-λk1,則x2=k1- x0.⑥
設(shè)點M的坐標為(xM,yM),由,則xM=
.
將③式和⑥式代入上式得xM==-x0,即xM+ x0=0.
∴線段PM的中點在y軸上.
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