拋物線C的方程為y=ax2(a＜0)，過拋物線C上一點P(x0，y0)(x0≠0)作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(P、A、B三點互不相同)，且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).

(Ⅰ)求拋物線C的焦點坐標和準線方程；

(Ⅱ)設(shè)直線AB上一點M，滿足=λ，證明線段PM的中點在y軸上.

解：(Ⅰ)由拋物線C的方程y= ax2 (a＜0)得，

焦點坐標為(0，)，準線方程為y=.

(Ⅱ)證明：設(shè)直線PA的方程為y- y0= k1 (x- x0)，

直線PB的方程為y- y0=k2(x- x0)．

點P(x0，y0)和點A(x1，y1)的坐標是方程組

的解．

將②式代入①式得ax2- k1x+ k1x0-y0=0，

于是x1+ x0=，故x1=-x0③

又點P(x0，y0)和點B(x2，y2)的坐標是方程組

的解．

將⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0- y0=0．

于是x2+x0=，故x2=-x0．

由已知得，k2=-λk1,則x2=k1- x0.⑥

設(shè)點M的坐標為(xM，yM)，由，則xM=．

將③式和⑥式代入上式得xM==-x0，即xM+ x0=0.

∴線段PM的中點在y軸上．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線C的方程為y=ax2（a＜0），過拋物線C上一點P（x0，y0）（x0≠0）作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線C于A（x1，y1）B（x2，y2）兩點（P，A，B三點互不相同），且滿足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB上一點M，滿足
BM
=λ
MA
，證明線段PM的中點在y軸上；
（Ⅲ）當(dāng)λ=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線C的方程為y=ax2（a＜0），過拋物線C上一點P（x0，y0）（x0≠0）作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線C于
A（x1，y1）B（x2，y2）兩點（P，A，B三點互不相同），且滿足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB上一點M，滿足
BM
=λ
MA
，證明線段PM的中點在y軸上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線C的方程為y=ax2（a＜0），過拋物線C上一點P（x0，y0）（x0≠0）作斜率為k1、k2的兩條直線分別交拋物線C于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1），
（1）設(shè)直線AB上一點M，滿足
BM
=λ
MA
，證明線段PM的中點在y軸上；
（2）當(dāng)λ=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C的方程為y=x2，過（0，1）點的直線l與C相交于點A，B，證明：OA⊥OB（O為坐標原點）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過曲線上一點與以此點為切點的切線垂直的直線，叫做曲線在該點的法線．
已知拋物線C的方程為y=ax2（a＞0，x≠0）．點M（x0，y0）是C上任意點，過點M作C的切線l，法線m．
（I）求法線m與拋物線C的另一個交點N的橫坐標xN取值范圍；
（II）設(shè)點F是拋物線的焦點，連接FM，過點M作平行于y軸的直線n，設(shè)m與x軸的交點為S，n與x軸的交點為K，設(shè)l與x軸的交點為T，求證∠SMK=∠FMN

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