拋物線C的方程為y=ax2(a<0),過拋物線C上一點P(x0,y0)(x0≠0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(P、A、B三點互不相同),且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).

(Ⅰ)求拋物線C的焦點坐標和準線方程;

(Ⅱ)設(shè)直線AB上一點M,滿足,證明線段PM的中點在y軸上.

解:(Ⅰ)由拋物線C的方程y= ax2 (a<0)得,

焦點坐標為(0,),準線方程為y=.

(Ⅱ)證明:設(shè)直線PA的方程為y- y0= k1 (x- x0),

直線PB的方程為y- y0=k2(x- x0).

點P(x0,y0)和點A(x1,y1)的坐標是方程組

的解.

將②式代入①式得ax2- k1x+ k1x0-y0=0,

于是x1+ x0=,故x1=-x0

又點P(x0,y0)和點B(x2,y2)的坐標是方程組

的解.

將⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0- y0=0.

于是x2+x0=,故x2=-x0

由已知得,k2=-λk1,則x2=k1- x0.⑥

設(shè)點M的坐標為(xM,yM),由,則xM=

將③式和⑥式代入上式得xM==-x0,即xM+ x0=0.

∴線段PM的中點在y軸上.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線C的方程為y=ax2(a<0),過拋物線C上一點P(x0,y0)(x0≠0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(P,A,B三點互不相同),且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).
(Ⅰ)求拋物線C的焦點坐標和準線方程;
(Ⅱ)設(shè)直線AB上一點M,滿足
BM
MA
,證明線段PM的中點在y軸上;
(Ⅲ)當(dāng)λ=1時,若點P的坐標為(1,-1),求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y1的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線C的方程為y=ax2(a<0),過拋物線C上一點P(x0,y0)(x0≠0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于
A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(P,A,B三點互不相同),且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).
(Ⅰ)求拋物線C的焦點坐標和準線方程;
(Ⅱ)設(shè)直線AB上一點M,滿足
BM
MA
,證明線段PM的中點在y軸上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線C的方程為y=ax2(a<0),過拋物線C上一點P(x0,y0)(x0≠0)作斜率為k1、k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(P、A、B三點互不相同),且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1),
(1)設(shè)直線AB上一點M,滿足
BM
MA
,證明線段PM的中點在y軸上;
(2)當(dāng)λ=1時,若點P的坐標為(1,-1),求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y1的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C的方程為y=x2,過(0,1)點的直線l與C相交于點A,B,證明:OA⊥OB(O為坐標原點)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過曲線上一點與以此點為切點的切線垂直的直線,叫做曲線在該點的法線.
已知拋物線C的方程為y=ax2(a>0,x≠0).點M(x0,y0)是C上任意點,過點M作C的切線l,法線m.
(I)求法線m與拋物線C的另一個交點N的橫坐標xN取值范圍;
(II)設(shè)點F是拋物線的焦點,連接FM,過點M作平行于y軸的直線n,設(shè)m與x軸的交點為S,n與x軸的交點為K,設(shè)l與x軸的交點為T,求證∠SMK=∠FMN

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