Question

已知f（x）=

1

2

abx-log₃（3^x+1）為偶函數(shù)，g（x）=2^x+

a+b

2x

為奇函數(shù)，其中a，b為復數(shù)，則

2010

k=1

（a^k+b^k）=

 

．

Answer 1

分析：由奇偶函數(shù)的定義列出關于a、b的方程組，求出它們的和與積的值，在轉化為對應一元二次方程的根，進而求出復數(shù)a和b，再利用和與積的值和a³=b³=1求出a²+b²，a³+b³，a⁴+b⁴等，找出具有周期性且T為3，再利用周期性求出式子的和．

解答：解：∵f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，
∴

f(1)=f(-1) g(0)=0

，
即

1 2 ab- log (3+1) 3 = - 1 2 ab- log ( 1 3 +1) 3 1+a+b=0

，
解得

ab=1 a+b=-1

；
∴復數(shù)a、b是方程x²+x+1=0的兩個根，
解得，a=-

1

2

+

3

2

i，b=-

1

2

-

3

2

i；∴a³=b³=1
已知a+b=-1，ab=1；則a²+b²=（a+b）²-2ab=-1，a³+b³=2，
同理可求a⁴+b⁴=-1，a⁵+b⁵=-1，a⁶+b⁶=2，…，歸納出有周期性且T=3，
∴

2010

k=1

（a^k+b^k）=

2010

3

[（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）]=0．
故答案為：0．

點評：本題考查了奇（偶）函數(shù)的定義和復數(shù)的運算，再求復數(shù)的值時用到轉化思想，求和式的值時利用a³=b³=1找出每項的和的周期，利用周期性求所求和式的值．