Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n-1-2a_n+a_n+1=0（n∈N^*且n≥2），且a₁=2，a₃=4．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項和為S_n=2b_n-1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）符號[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，記c_n=[log₂（a_n-1）]，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，求T2n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}滿足a_n-1-2a_n+a_n+1=0（n∈N^*且n≥2），可得：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．由數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=2b_n-1（n∈N^*）．當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，化為b_n=2b_n-1．
當(dāng)n=1時，b₁=2b₁-1，b₁=1．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）知a_n=n+1，可得c_n=[log₂n]．當(dāng)2^k≤n＜2^k+1時，[log₂n]=k，k∈N．利用等比數(shù)列的前n項和公式與“錯位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n-1-2a_n+a_n+1=0（n∈N^*且n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∵a₁=2，a₃=4．∴a₃-a₁=2d=4-2，解得d=1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
由數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=2b_n-1（n∈N^*）．
當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=（2b_n-1）-（2b_n-1-1），化為b_n=2b_n-1．
當(dāng)n=1時，b₁=2b₁-1，b₁=1．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，∴bn=2n-1．
（2）由（1）知a_n=n+1，∴c_n=[log₂n]．
當(dāng)2^k≤n＜2^k+1時，[log₂n]=k，k∈N．
∴T2n=[log21]+[log22]+…+[log2(2n-1)]+[log22n]
=([log221]+[log23])+([log222]+…+[log27])+([log223]+…+[log215])+…+([log22n-1]+[log2(2n-1+1)]+…+[log2(2n-1)])+[log22n]，
∴T2n=2+2×22+3×23+…+(n-1)2n-1+n，
2T2n=1×22+2×23+…+(n-2)2n-1+(n-1)2n+2n，
兩式相減得：-T2n=2+22+…+2n-1-n-(n-1)2n，
∴T2n=(n-2)2n+n+2．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、遞推式的意義，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．